유용한 팁

미분 방정식

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미분과 적분을 찾는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 주제로 넘어갈 차례입니다 : 미분 방정식 해결 (diffurs, diffurs and diff.ura :), 즉 함수 자체 (및 / 또는 인수)와 함께있는 방정식 파생물 또는 심지어 여러 가지를 포함합니다.

어떻게 미분 방정식을 푸는가? 필요한 것은 a) 미분 방정식의 유형을 정확하게 결정하는 능력과 b) 잘 통합하는 능력이 작업의 필수 부분입니다.

이 섹션에서는 미분 방정식을 컴파일하고 풀 때 해결되는 문제를 찾을 수 있습니다. difours 솔루션의 예는 사용자 편의를 위해 무료로 제공되며 주제별로 정렬되어 있습니다. 연구, 비슷한 솔루션 찾기, 자신의 문제 해결. 과제를 완료하는 데 도움이 필요하면 미분 방정식 테스트 섹션으로 이동하십시오.

1 차 미분 방정식의 해

작업 3. 1 차 $ xy '+ x ^ 2 + xy-y = 0의 선형 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 구합니다. $

작업 4. 균질 미분 방정식 $ y '=-y / x quad (x ne 0)을 구합니다. $

작업 5. 미분 방정식 $ (y ^ 4-2x ^ 3y) dx + (x ^ 4-2xy ^ 3) dy = 0을 풉니 다. $

작업 6. 균질 미분 방정식 $ (2x + y + 1) dx + (x + 2y-1) dy = 0을 풉니 다. $

작업 7. 1 차 선형 미분 방정식 $ y'-2xy = 3x ^ 2-2x ^ 4를 풉니 다.

작업 8. 미분 방정식 $ (x + y ^ 2) y '= y-1을 풉니 다.

원격 제어를위한 Cauchy 문제 해결

작업 9. 분리 가능한 변수 $ (1 + x ^ 2) dy-2xydx = 0으로 미분 방정식을 풉니 다. $ 초기 조건 $ y (0) = 1 $을 만족하는 특정 솔루션을 찾으십시오.

작업 10. 2 차 미분 방정식 $ 2y y ''+1 = (y ') ^ 2, , y (1/3) = 1, , y'(1/3) = 2 $에 대한 코시 문제를 해결합니다.

작업 11. 미분 방정식 $$ y '= frac <2y-x> <2x + y>, y (1) = 1에 대한 코시 문제의 해를 구합니다. $$

작업 12. 3 차 미분 방정식 $$ y '' '= x + cos x, quad y (0) = 0, y'(0) = 0, y ''(0) = 0에 대한 코시 문제를 해결합니다. $$

2 차 미분 방정식의 해

작업 13. 상수 계수 $ y ''+ 4y '+ 4y = xe ^ <2x>로 2 차 미분 방정식을 풉니 다.

작업 14. 변동 방법으로 상수 계수가있는 2 차 미분 방정식의 Cauchy 문제를 해결합니다. $$ y ''-3y '= frac <9e ^ <-3x >> <3 + e ^ <-3x >>, quad y (0) = 4 ln 4, y '(0) = 3 (3 ln 4-1). $$

미분 방정식 문제 해결

작업 15. 가열 된 몸체의 냉각 속도는 몸체와 환경 사이의 온도 차이에 비례합니다. 10 분 안에, 몸은 100도에서 60 도로 냉각되었습니다. 매체의 온도는 일정하고 20 도입니다. 몸은 언제 25도까지 냉각됩니까?

작업 16. 모터 보트는 5m / s의 속도로 침착 한 물에서 움직입니다. 최고 속도에서, 그녀의 모터는 꺼지고 그 후 40 초 후에 보트의 속도는 2m / s로 감소합니다. 방수 기능이 보트 속도에 비례한다고 가정하고 모터가 정지 한 후 2 분 동안 보트 속도를 결정하십시오.

목차

미분 방정식 순서 -그 안에 포함 된 최상위 파생 상품.

미분 방정식이 가장 높은 도함수에 대한 다항식이면이 다항식의 차수를 미분 방정식의 정도. 따라서 예를 들어 방정식 (y ″) 4 + y '+ y 6 + x 7 = 0 < displaystyle (y' ') ^ <4> + y'+ y ^ <6> + x ^ <7> = 0 >는 2 차 4 차 방정식입니다.

모든 미분 방정식은 다음과 같이 나눌 수 있습니다 평범한 (ODE) : 하나의 인수에서 나온 함수 (및 그 파생어) 만 포함합니다. 편미분 방정식 입력 기능이 많은 변수에 의존하는 (URCHP). 랜덤 프로세스를 포함한 확률 론적 미분 방정식 (Schachastic Differential Equation)도 있습니다.

미분 방정식의 미분, 함수, 독립 변수의 조합에 따라 미분 방정식은 선형 또는 비선형으로 구분되며, 상수 또는 가변 계수, 동종 또는 동종이 아닙니다. 응용의 중요성으로 인해, 준 선형 (고도 함수에 대한 선형) 부분 미분 방정식은 별도의 클래스로 구별됩니다.

미분 방정식의 가장 중요한 문제는 솔루션의 존재와 고유성입니다. 이 질문에 대한 해결책은 이것에 필요하고 충분한 조건을 나타내는 존재 및 고유성 이론에 의해 주어진다. 일반적인 미분 방정식의 경우, 이러한 조건은 Lipschitz (1864)에 의해 공식화되었습니다. 편미분 방정식의 경우 해당 정리는 S.V. Kovalevskaya (1874)에 의해 입증되었습니다.

미분 방정식의 솔루션은 일반적인 솔루션과 특정 솔루션으로 나뉩니다. 일반적인 솔루션에는 무한 정수와 부분 미분 방정식의 경우 독립 변수의 임의 함수가 추가 적분 조건 (일반 미분 방정식의 초기 조건, 부분 미분 방정식의 초기 및 경계 조건)에서 구체화 될 수 있습니다. 이러한 상수 및 무기한 함수의 유형을 결정한 후에 솔루션은 비공개가됩니다.

일반적인 미분 방정식에 대한 해법을 찾음으로써 알려진 기본 기능으로 표현되지 않은 응용 프로그램에서 흔히 발견되는 기능인 특수 기능 클래스가 확립되었습니다. 그들의 속성을 자세히 연구하고, 의미 테이블을 정리하고, 상호 관계를 결정했습니다.

미분 방정식 이론의 개발은 일부 경우 연구중인 함수의 연속성 요구 사항을 포기하고 미분 방정식의 일반화 된 솔루션을 도입하는 것을 가능하게했습니다.

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